Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a

x

，
（1）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（2）當a=16時，判斷f（x）在x∈（0，2]上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）當a=16時，若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m-

m-1

+9恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）通過a的值是否為0，利用奇偶性的定義，直接判斷f（x）的奇偶性；
（2）通過a=16，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷f（x）在x∈（0，2]上的單調(diào)性即可；
（3）當a=16時，若對任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m-

m-1

+9恒成立，轉化為函數(shù)的最小值問題，然后求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=x²，（x≠0）為偶函數(shù)；   …（2分）
當a≠0時，f（1）=1+a，f（-1）=1-a，
故f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），所以f（x）無奇偶性．
綜上得：當a=0時，f（x）為偶函數(shù)；當a≠0時，f（x）無奇偶性．…（5分）
（2）f(x)=x2+

16

x

，
任取0＜x₁＜x₂≤2，則f(x1)-f(x2)=

x

2 1

+

16

x1

-

x

2 2

-

16

x2

=

x1-x2

x1x2

[x1x2(x1+x2)-16]，
∵0＜x₁＜x₂≤2∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂（x₁+x₂）＜16，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，2]上遞減．…（9分）
（3）由題意得f(x)min＞m-

m-1

+9，
由（2）知f（x）在區(qū)間（0，2]上是遞減，同理可得f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞增，
所以f（x）_min=f（2）=12，…（12分）
所以12＞m-

m-1

+9，即m-1-

m-1

-2＜0，
令

m-1

=t，(t≥0)，則t²-t-2＜0，解得-1＜t＜2，故0≤t＜2，
即0≤

m-1

＜2，即1≤m＜5．  …（16分）

點評：本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的單調(diào)性的應用，奇偶性的判斷，分類討論思想的應用，是中檔題．