已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為
π
3
，若
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用
分析：求出向量a，b的數(shù)量積，及（
a
+λ
b
）•（λ
a
+
b
），求出
a
+λ
b
與λ
a
+
b
共線的λ，由于
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角為銳角，等價(jià)為（
a
+λ
b
）•（λ
a
+
b
）＞0，且
a
+λ
b
與λ
a
+
b
不共線，解不等式即可得到范圍．
解答： 解：由于|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角為
π
3
，
則
a
•
b
=|
a
|•|
b
|•cos＜
a
，
b
＞=2×3×cos
π
3
=3，
（
a
+λ
b
）•（λ
a
+
b
）=λ
a
2+λ
b
2+（1+λ2）
a
•
b
=13λ+3（1+λ2），
若
a
+λ
b
與λ
a
+
b
共線，則
a
+λ
b
=k（λ
a
+
b
），
即有1=kλ且k=λ，解得，λ=±1，
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角為銳角，
等價(jià)為（
a
+λ
b
）•（λ
a
+
b
）＞0，且
a
+λ
b
與λ
a
+
b
不共線，
則有13λ+3（1+λ2）＞0，且λ≠±1，
解得，λ＞
-13+
133
6
且λ≠1或λ＜
-13-
133
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的夾角為銳角，即為數(shù)量積大于0，且它們不共線，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=kx-2與拋物線 C：x2=-2py（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn) 
OA
+
OB
=（-4，-12）．
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（1，cos（ωx-
π
6
）），
b
=（
3
，
3
sin（ωx-
π
6
）），其中ω為常數(shù)，且ω＞0
（1）若ω=1，且
a
∥
b
，求tanx的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=（
a
-
b
）2-（
3
-1）2，若f（x）的最小正周期為π，求f（x）在x∈（0，
π
2
）時(shí)的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1的漸近線經(jīng)過點(diǎn)P（1，
3
），則該雙曲線的離心率是（　�。�
A、
2
B、
3
C、2
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在銳角△ABC中，∠A=2∠B，則
c
b
的取值范圍為（　�。�
A、[1，2]
B、[1，3]
C、（1，3）
D、（1，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=sin2x+asinx+a-
3
a
，a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若對(duì)任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)非零向量
a
=（m，n），
b
=（p，q）定義向量間運(yùn)算“*“為
a
*
b
=（mp-np，mq+np）．
（1）求|
a
*
b
|
（2）若np≠mq，比較|
a
•
b
|2與|
a
*
b
|2的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（x）=f′（
π
3
）sinx+cosx，則f′（
π
3
）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（1，0，0），B（0，-1，1），
OA
+λ
OB
與
OB
的夾角為60°，則λ的值為（　�。�
A、±
6
6
B、
6
6
C、-
6
6
D、±
6

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同步練習(xí)冊(cè)答案