Question

已知數(shù)列{a_n}中，

a

1

=

1

4

，a_n=2-

1

an-1

(n≥2，n∈N*)．若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an-1

(n∈N+)．
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并寫出{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式及數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，b1=

1

a1-1

=-

4

3

，由此能證明數(shù)列{b_n}是以-

4

3

為首項，以1為公差的等差數(shù)列，從而能求出{b_n}的通項公式．
（2）由b_n=n-

7

3

=

1

an-1

，得an=1+

1

n- 7 3

=1+

3

3n-7

，n∈N^*，當(dāng)n≥3時，數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且a_n＞1，由此求出數(shù)列的前3項，從而能求出數(shù)列{a_n}中的最大項和最小項．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，

a

1

=

1

4

，a_n=2-

1

an-1

(n≥2，n∈N*)，
∴an-1=

an-1-1

an-1

，∴

1

an-1

=

an-1-1+1

an-1-1

=1+

1

an-1-1

，
∴

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，
∴數(shù)列{b_n}是以1為公差的等差數(shù)列，
∵b_n=

1

an-1

，∴b_n-b_n-1=1，
又∵a1=

1

4

，∴b1=

1

a1-1

=-

4

3

，
∴數(shù)列{b_n}是以-

4

3

為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴bn=-

4

3

+(n-1)×1=n-

7

3

．n∈N^*．
（2）解：∵b_n=n-

7

3

=

1

an-1

，∴an=1+

1

n- 7 3

=1+

3

3n-7

，n∈N^*
當(dāng)n≥3時，數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且a_n＞1，
列舉a₁=1+

3

3-7

=

1

4

，
a2=1+

3

6-7

=-2，
a3=1+

3

9-7

=

5

2

，
∴數(shù)列{a_n}中的最大項為a₃=

5

2

，最小項為a₂=-2．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列是等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列{b_n}的通項公式的求法，考查數(shù)列{a_n}的通項公式及數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項的求法，是中檔題．