Question

【題目】將 顆珠子分成 堆.若通過每次從其中 堆中各取走一顆珠子，而最后取完，則稱這樣的分法為“和諧的”.試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

分法為和諧的充分必要條件是最多一堆珠子的顆數(shù)不超過.

下面設(shè)堆珠子的顆數(shù)分別為 ，且.

首先，用反證法證明必要性.

若分法是和諧的,則把 所對(duì)應(yīng)的珠子取完至少要次，這次每次均要取走 顆珠子.如果，即，把所對(duì)應(yīng)的一堆取完時(shí),需取走的珠子顆數(shù)大于珠子的總數(shù),而這是不可能的.因此，最多一堆珠子的顆數(shù)不能超過.

其次,用數(shù)學(xué)歸納法證明充分性.

當(dāng)時(shí)，滿足的分法只能是 .顯然，這樣的分法是和諧的.

假設(shè)時(shí)，滿足的分法是和諧的.

當(dāng)時(shí)，滿足，且分法是不和諧的，

則分法也是不和諧的.

由歸納假設(shè)及必要性的證明知.

因?yàn)?/span>，

所以，.

若，則.

故，這是不可能的.

因此，當(dāng)時(shí)，滿足分法也是和諧的.