Question

在如圖的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，∥，，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，在題中已經(jīng)有，另一條直線應(yīng)該是，在中，由已知易證；（2）求直線與平面所成的角，要找到在平面內(nèi)的射影，這里線面的交點(diǎn)沒給出，垂直關(guān)系也比較難找，但由（1）的證明可得兩兩垂直，因此我們可以以他們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來求線面角，只要求出平面的一個(gè)法向量，那么向量與的夾角的余弦值等于直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050158865594.png" style="vertical-align:middle;" />，
在△中，由余弦定理可得．所以．所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050158912568.png" style="vertical-align:middle;" />，，、平面，所以平面．  -4分
（2）由（1）知，平面，平面，所以．
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050158787555.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050159863619.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面．
所以，，兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050200050526.png" style="vertical-align:middle;" />是等腰梯形，且，
所以．
不妨設(shè)，則，，，
，，