如圖,已知三棱錐A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),且△PMB為正三角形.

(1)求證DM∥平面APC;
(2)求證平面ABC⊥平面APC;
(3)若BC=PC=4,求二面角P-AB-C的正弦值.
(3)

試題分析：
(1)從平面內(nèi)找一條與平行的直線,根據(jù)題意可知, 是的中位線,有∥,則證明.
(2)要證面面垂直得有線面垂直,根據(jù)題意可證,從而得到,進(jìn)而有,最終可證.
(3)首先得做出二面角的平面角,所以過作，垂足為，連接,猜想為二面角的平面角,根據(jù)二面角的平面角定義,只需證明 ,顯然根據(jù)已知以及(1)中的結(jié)論,可證平面,則可證明猜想.將放入中,即可求其正弦值.
證明為中點(diǎn), 為中點(diǎn),
中,有∥,
又,
 ∥平面                                       
(2)證明為正三角形,且為中點(diǎn),
又由(1)知, ∥.             
又,                          
                             
                         
                   
(3)

過作，垂足為，連接， 
，為中點(diǎn)，
，又由（2）知平面，
,平面,
又平面,                         
為二面角的平面角         
,為中點(diǎn),,又由（2）平面，∴，，
又 ，為中點(diǎn),為正三角形，
∴，
∴，
∴
∴在，
即二面角的正弦值為．          
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（2011•湖北）如圖，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合．
（1）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EF⊥A1C；
（2）設(shè)二面角C﹣AF﹣E的大小為θ，求tanθ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在等腰梯形ABCD中，，，，N是BC的中點(diǎn)．如圖所示，將梯形ABCD繞AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到梯形．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；

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在如圖的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，∥，，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線 分別為的中點(diǎn)。

（1）記平面與平面的交線為，試判斷與平面的位置關(guān)系，并加以說明；
（2）設(shè)（1）中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足，記直線
平面所成的角為異面直線與所成的銳角為，二面角的大小為
①求證：
②當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，，求直線與平面所成的角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，則下列命題正確的是(　　)
A．若b?α，c∥α，則c∥b
B．若b?α，b∥c，則c∥α
C．若c?α，α⊥β，則c⊥β
D．若c?α，c⊥β，則α⊥β

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直二面角α－l－β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于（   ）
A．B．C．D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線A1B與B1C所成角的大小為　_________　．

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已知三棱柱的側(cè)棱在下底面的射影與平行,若與底面所成角為,且,則的余弦值為（　�。�
A．B．C．D．

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