Question

【題目】已知函數(shù) （a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)． （Ⅰ） 求實數(shù)a的值；
（Ⅱ） 證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，mf（x）≤2x﹣2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)． ∴ ，
∴a=2．
∴ ，
∴ ，
∴f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．
∴a=2．
（Ⅱ）任取x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ，
則 ，
∵x1＜x2 ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上為增函數(shù)
（Ⅲ）由題意得，當x≥1時，
即 恒成立，
∵x≥1，
∴2x≥2，
∴ 恒成立，
設t=2x﹣1（t≥1），
則
設 ，
則函數(shù)g（t）在t∈[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴g（t）min=g（1）=0，
∴m≤0，
∴實數(shù)m的取值范圍為m≤0
【解析】（Ⅰ）利用奇函數(shù)的定義即可求出，f（0）=0，且f（﹣x）=﹣f（x），（Ⅱ）利用單調性的定義即可證明，假設，作差，比較，判斷，下結論．（Ⅲ）分離參數(shù)m后得到 ，設t=2x﹣1（t≥1），構造函數(shù) ，轉化為求函數(shù)最值問題解決．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．