Question

有1000人患某種病的概率為0.1，采取每k人一組混合化驗(yàn)一次，如果成陰性，這k人化驗(yàn)通過，如果成陽(yáng)性，還需對(duì)這k人每人進(jìn)行一次化驗(yàn)，以確定患病的人，問k為多少時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少？

Answer 1

考點(diǎn)：概率的應(yīng)用

專題：計(jì)算題

分析：k個(gè)人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為0.9^k，呈陽(yáng)性結(jié)果的概率為1-0.9^k．當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陰性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)為

1

k

次；當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陽(yáng)性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次驗(yàn)為

1

k

+1次．故Eξ=

1

k

×0.9k+(1+

1

k

)(1-0.9k)=1+

1

k

-0.9k．由此能得到k=4時(shí)的時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少．

解答： 解：k個(gè)人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為0.9^k，呈陽(yáng)性結(jié)果的概率為1-0.9^k．
當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陰性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)為

1

k

次；
當(dāng)k個(gè)人一組的混合血液呈陽(yáng)性時(shí)，可以認(rèn)為每個(gè)人需要化驗(yàn)的次驗(yàn)為

1

k

+1次．
所以ξ的分布列為：（3分）

ξ	1 k	1+ 1 k
P	0.9k	1-0.9k

∴Eξ=

1

k

×0.9k+(1+

1

k

)(1-0.9k)=1+

1

k

-0.9k．
當(dāng)k=1時(shí)，P（ξ=1）=1    Eξ=1．
當(dāng)k=2時(shí)，Eξ=1+

1

2

-0.9²=0.69
當(dāng)k=3時(shí)，Eξ=1+

1

3

-0.93≈0.604；
當(dāng)k=4時(shí)，Eξ=1+

1

4

-0.94≈0.597；
當(dāng)k=5時(shí)，Eξ=1+

1

5

-0.95≈0.609．
比較知k=4時(shí)的時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，考查了離散型變量的數(shù)學(xué)期望以及計(jì)算能力，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．