Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，連接AC，過點(diǎn)A作AD⊥CD于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．
（Ⅰ）證明：∠AOC=2∠ACD；
（Ⅱ）證明：AB•CD=AC•CE．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）連結(jié)BC，由已知條件推導(dǎo)出∠ACD=∠ABC，∠OCB=∠ABC，由此能夠證明∠AOC=2∠ACD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，從而得到Rt△ABC∽R(shí)t△CED，由此能夠證明AB•CD=AC•CE．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BC，∵CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，
∴∠ACD=∠ABC，
∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，
∴∠AOC=2∠ACD．
（Ⅱ）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
又∵AD⊥CD于D，∴∠ADC=90°，
∵CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，OC為半徑，
∴∠OAC=∠CAE，且OC⊥CD，
∴OC∥AD，又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，
∴Rt△ABC∽R(shí)t△CED，∴

AB

CE

=

AC

CD

，
∴AB•CD=AC•CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查角相等的證明，考查線段乘積相等的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．