Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos

A+C

2

=

1

2

．
（1）若a=3，b=

7

，求c的值；
（2）若f（A）=sinA（

3

cosA-sinA），求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（1）已知等式左邊變形后，利用誘導公式化簡求出sin

B

2

的值，確定出B的度數，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值即可；
（2）f（A）解析式去括號后，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后化為一個角的正弦函數，根據B的度數表示出A+C的度數，確定出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出f（A）的范圍．

解答： 解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，
∴cos

A+C

2

=cos

π-B

2

=sin

B

2

=

1

2

，
∴

B

2

=

π

6

，即B=

π

3

，
∵a=3，b=

7

，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即7=9+c²-3c，
整理得：c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2；
（2）f（A）=sinA（

3

cosA-sinA）=

3

2

sin2A-

1-cos2A

2

=sin（2A+

π

6

）-

1

2

，
由（1）得B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即A∈（0，

2π

3

），
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

3π

2

），
∴sin（2A+

π

6

）∈（-1，1]，
∴f（A）∈（-

3

2

，

1

2

]，
∴f（A）的取值范圍是（-

3

2

，

1

2

]．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，余弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．