Question

如圖，在直三棱柱（即側(cè)棱與底面垂直的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面B₁DC．
（2）求AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用線面平行的判定，連接C₁B，C₁B∩B₁C=E，證明DE∥AC₁，從而AC₁∥平面B₁DC；
（2）先證明∠AC₁B即AC₁與平面B₁BCC₁所成角后，在Rt△AC₁B中計(jì)算．

解答： （1）證明：連接C₁B，C₁B∩B₁C=E，∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E為C₁B的中點(diǎn)，
在△ABC₁中，D是AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC₁，
DE?面B₁DC，AC₁?面B₁DC，∴AC₁∥平面B₁DC；
（2）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴BB₁⊥AB，∵∠ABC=90°，AB⊥BC，
BC∩BB₁=B，BC、BB₁?面B₁BCC₁，AB⊥面B₁BCC₁，
∴∠AC₁B即AC₁與平面B₁BCC₁所成角，
AB=BC=AA₁=2，在△BCC₁中，BC₁=2

2

，
在Rt△AC₁B中，tan=

AB

BC1

=

2

2

，
AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了線面平行即線面角的計(jì)算，考查空間想象能力，考查推理證明與運(yùn)算能力，屬于中檔題．