在四棱錐P—ABCD中,AB⊥AD,CD∥AB,PD⊥底面ABCD,,直線PA與底面ABCD成60°角,M、N分別是PA、PB的中點(diǎn).
(1)求二面角P—MN—D的大;
(2)當(dāng)的值為多少時(shí),△CDN為直角三角形.
(1)由已知AB⊥AD,AB⊥PD,∴AB⊥平面PAD,又MN∥AB,∴MN⊥平面PAD. ∴從而MN⊥PM,MN⊥DM,∴∠PMD為所求的角. 由已知∠PAD=60°, ∴∠MPD=30°, ∵DM是Rt△PDA斜邊PA上的中線,∴MD=MP, ∴△PMD為等腰三角形,∴∠PMD=120° (2)顯然∠DCN≠90°,若∠CDN=90°,則CD⊥平面PDN,而CD⊥平面PAD,則平面PDN與平面PAD重合,與題意不符. 若△CDN為Rt△,則必有CN⊥DN 、 連BD,設(shè)AD=a,由已知AB=a,從而BD=a,又PD=ADtan60°=a, ∴PD=BD,PD⊥DN ② 結(jié)合①②知DN⊥平面PBC, ∴DN⊥BC,又PD⊥BC,∴BC⊥平面PBD,BC⊥BD.反之亦然. ∵AB//CD,∴∠ABD=∠CDB.因此,Rt△CBD∽R(shí)t△DAB |
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