Question

14．在平面內(nèi)將點(diǎn)A（2，1）繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{3π}{4}$，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 AC⊥x軸于C點(diǎn)，BD⊥x軸于D點(diǎn)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)得到AC，OC，可求sin∠AOC，cos∠AOC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BOC=∠AOC+$\frac{3π}{4}$，OA=OB，利用兩角和的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：如圖，作AC⊥x軸于C點(diǎn)，BD⊥x軸于D點(diǎn)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），
∴AC=1，OC=2，
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠AOC=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cos∠AOC=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵OA繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{3π}{4}$得OB，
∴∠AOB=$\frac{3π}{4}$，OA=OB=$\sqrt{5}$，
∴∠BOC=∠AOC+$\frac{3π}{4}$，
∴sin∠BOC=sin（∠AOC+$\frac{3π}{4}$）=sin∠AOCcos$\frac{3π}{4}$+cos∠AOCsin$\frac{3π}{4}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+$\frac{2}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cos∠BOC=cos（∠AOC+$\frac{3π}{4}$）=cos∠AOCcos$\frac{3π}{4}$-sin∠AOCsin$\frac{3π}{4}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）-$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴DB=OBsin∠BOC=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OD=OBcos∠BOC=$\sqrt{5}$×（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：把點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形旋轉(zhuǎn)的問題，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)．也考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．