Question

【題目】已知被直線(xiàn)， 分成面積相等的四個(gè)部分，且截軸所得線(xiàn)段的長(zhǎng)為2．　

（1）求的方程；

（2）若存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于， 兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）被直線(xiàn)， 分成面積相等的四個(gè)部分說(shuō)明圓心在直線(xiàn)的交點(diǎn)，再根據(jù)截得x軸線(xiàn)段長(zhǎng)求出半徑即可；（2）根據(jù)平面幾何知識(shí)知，“點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)”等價(jià)于“圓上存在一點(diǎn)使得的長(zhǎng)等于的直徑”，轉(zhuǎn)化為，即，從而求解.

試題解析：

（1）設(shè)的方程為，

因?yàn)?/span>被直線(xiàn)分成面積相等的四部分，

所以圓心一定是兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，

易得交點(diǎn)為，所以.

又截x軸所得線(xiàn)段的長(zhǎng)為2，所以.

所以的方程為.

（2）法一：如圖， 的圓心，半徑，

過(guò)點(diǎn)N作的直徑，連結(jié).

當(dāng)與不重合時(shí)， ，

又點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)；

當(dāng)與重合時(shí)，上述結(jié)論仍成立.

因此，“點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)”等價(jià)于“圓上存在一點(diǎn)使得的長(zhǎng)等于的直徑”.

由圖可知，即，即.

顯然，所以只需，即，解得.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

法二：如圖， 的圓心，半徑，連結(jié)，

過(guò)作交于點(diǎn)，并設(shè).

由題意得，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

將代入整理可得，

因?yàn)?/span>，所以，，解得.