Question

對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），有下述四個(gè)命題，其中正確命題序號(hào)為

 

．
①若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱；
②若對(duì)x∈R，有f（x+1）=f（x-1），則y=f（x）直線x=1對(duì)稱；
③若函數(shù)f（x-1）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x+1）與函數(shù)f（1-x）直線x=1對(duì)稱．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用奇函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱）與圖象平移變換可判斷①；
②f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），可判斷②；
③y=f（x-1）的圖象是將y=f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到的，依題意可判斷③；
④舉反例，f（x）=x時(shí)，f（1+x）=x+1，f（1-x）=1-x，這兩條直線顯然不關(guān)于x=1對(duì)稱，可判斷④．

解答： 解：①，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱；
又y=f（x-1）的圖象是將y=f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位得到的，
∴f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱，故①正確；
②，∵f（x+1）=f（x-1）≠f（1-x），∴y=f（x）不關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；
③，∵函數(shù)y=f（x-1）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故③正確；
④，函數(shù)f（x+1）的圖象與函數(shù)f（1-x）的圖象不關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
如f（x）=x時(shí)，f（1+x）=x+1，f（1-x）=1-x，這兩條直線顯然不關(guān)于x=1對(duì)稱，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性，考查分析與推理、運(yùn)算能力，屬于中檔題．