Question

已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)p＞1時(shí)，當(dāng)p≤0時(shí)，當(dāng)0＜p＜1時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間即可；
（2）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，?1+lnx≤kx?k≥

1+lnx

x

，令h（x）=

1+lnx

x

，則k≥h（x）_max，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到最大值即可．

解答： 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

p

x

+2（p-1）x=

2(p-1)x2+p

x

，
當(dāng)p＞1時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜p＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得x=

-p 2(p-1)

．
則當(dāng)0＜x＜

-p 2(p-1)

時(shí)，f′（x）＞0；x＞

-p 2(p-1)

，時(shí)，f′（x）＜0．
故f（x）在（0，

-p 2(p-1)

）單調(diào)遞增，在（

-p 2(p-1)

，+∞）單調(diào)遞減；
（2）因?yàn)閤＞0，所以當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，
?1+lnx≤kx?k≥

1+lnx

x

，
令h（x）=

1+lnx

x

，則k≥h（x）_max，
因?yàn)閔′（x）=

-lnx

x2

，由h′（x）=0得x=1，
且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
所以h（x）_max=h（1）=1，
故k≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性，求最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．