Question

設(shè)M在曲線y=e^x+

1

ex

上，N點(diǎn)在y=

3

2

x上，則|MN|的最小值為（　�。�

• A、

  13

  13

  （4-3ln2）
• B、

  13

  13

  （3-3ln2）
• C、

  13

  13

  （5-3ln2）
• D、

  13

  13

  （3-2ln2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用平移切線法求出和直線y=

3

2

x平行的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-e^-x，
由f′（x）=e^x-e^-x=

3

2

，
即2（e^x）²-3e^x-2=0，
解得e^x=2，即x=ln2，
此時(shí)y=e^ln2+

1

eln2

=2+

1

2

=

5

2

，
即和直線y=

3

2

x即3x-2y=0平行的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為（ln2，

5

2

），
則|MN|的最小值d=

|3ln2-2× 5 2 |

32+22

=

|3ln2-5|

13

=

5-3ln2

13

=

13

13

（5-3ln2），
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．