Question

已知函數(shù)f（x）=

sinπx

πx+π1-x

（x∈R）．下列命題：
①函數(shù)f（x）既有最大值又有最小值；
②函數(shù)f（x）的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上共有7個(gè)零點(diǎn)；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增．
其中真命題是

 

．（填寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：考慮①時(shí)用基本不等式進(jìn)行放縮；考慮②時(shí)，驗(yàn)證f（1-x）=f（x）；考慮③時(shí)，sinπx=0，故x=k，k為整數(shù)，可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
考慮④時(shí)，驗(yàn)證f（0）=f（1）=0，故無(wú)單調(diào)性；

解答： 解：考慮①：
函數(shù)f（x）=

sinπx

πx+π1-x

≤

1

2 πx•π1-x

=

1

2 π

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)由最大值；
取x=-

1

2

，有f（-

1

2

）=

-1

π- 1 2 +π 3 2

＜

-1

1+4 3 2

＜-

1

9

，
當(dāng)x＞10時(shí)，f（x）＞-

1

π10

＞-

1

9

＞f（-

1

2

），
當(dāng)x＜-9時(shí)，f（x）＞-

1

π10

＞-

1

9

＞f（-

1

2

），
而f（x）在[-9，10]上存在最小值，設(shè)此最小值為m，則m≤f（-

1

2

），
所以，m亦為f（x）在定義域上的最小值．
故①正確；
考慮②：
因?yàn)閒（1-x）=f（x），所以x=

1

2

為f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，故②正確；
考慮③：
因?yàn)閒（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k為整數(shù)，
∴區(qū)間[-π，π]上有-3，-2，-1，0，1，2，3共7個(gè)零點(diǎn)，故③正確；
考慮④：
f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能單調(diào)遞增；故④錯(cuò)誤；
綜上①②③正確，
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，要分析函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)行合理的變形，同時(shí)要驗(yàn)證特殊值．