Question

如圖，在三棱錐中，直線平面，且

，又點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)，且點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：直線平面；

(2)若，求二面角的平面角的余弦值.

 

Answer 1

(1)參考解析；(2)

【解析】

試題分析：（1）點(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)所以,平面PAC.所以平面PAC.同理證明MN平面PAC.又由于.所以平面QMN平面PAC.又平面QMN.所以直線平面.

（2）根據(jù)已知條件建立坐標(biāo)系，寫出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出相應(yīng)的向量，計(jì)算平面QAN與MAN的法向量，求法向量的夾角，即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）.連結(jié)QM因?yàn)辄c(diǎn)，，分別是線段，，的中點(diǎn)

所以QM∥PAMN∥ACQM∥平面PACMN∥平面PAC

因?yàn)镸N∩QM=M所以平面QMN∥平面PACQK平面QMN

所以QK∥平面PAC··············7分

（2）方法1：過M作MH⊥AN于H，連QH，則∠QHM即為

二面角的平面角,令即QM=AM=1所以

此時(shí)sin∠MAH=sin∠BAN=MH=記二面角的平面角為

則tan=COS=即為所求�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ�14分

方法2：以B為原點(diǎn)，以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

則A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),

=(0,-1,1),

記，則

取

又平面ANM的一個(gè)法向量，所以cos=

即為所求。 14分

考點(diǎn)：1.線面平行.2.面面平行.3.二面角的知識(shí).