Question

已知點F為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點，過F的直線與橢圓交于A，B兩點．
（1）若點A為橢圓的上頂點，滿足AF=2FB，且橢圓的右準線方程為x=3

3

，求橢圓的標準方程；
（2）若點A，B在橢圓的右準線上的射影分別為A₁，B₁（如圖所示），求證：∠A₁FB₁為銳角．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可知，A（0，b），F(xiàn)（c，0），

a2

c

=3

3

．設(shè)B（x₀，y₀），由已知條件推導出

c

a

=

3

3

．由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設(shè)直線AB：x=my+c，設(shè)A1(

a2

c

，y1)，B1(

a2

c

，y2)，由

x=my+c x2 a2 + y2 b2 =1

，得（a²+b²m²）y²+2mcb²y-b⁴=0，由此能推導出

FA1

•

FB1

=(

a2

c

-c，y1)(

a2

c

-c，y2)=

b6(1+m2)

c2(a2+b2m2)

＞0，從而得到∠A₁FB₁為銳角．

解答： （1）解：由題意可知，A（0，b），F(xiàn)（c，0），

a2

c

=3

3

．…（1分）
設(shè)B（x₀，y₀），則

AF

=(c，-b)，

FB

=(x0-c，y0)，
因為AF=2FB，所以

AF

=2

FB

．…（3分）
即（c，-b）=（x₀-c，y₀）
所以

2(x0-c)=c 2y0=-b

，解得

x0= 3 2 c y0=- b 2

…（5分）
又因為點B在橢圓上，
所以

( 3 2 c)2

a2

+

b2 4

b2

=1，解得

c

a

=

3

3

．
所以a=3，c=

3

，b=

6

．
因此橢圓的標準方程為

x2

9

+

y2

6

=1．…（7分）
（2）證明：設(shè)直線AB：x=my+c，（設(shè)斜率但不討論不存在扣1分）…（9分）
設(shè)A1(

a2

c

，y1)，B1(

a2

c

，y2)，
由

x=my+c x2 a2 + y2 b2 =1

，聯(lián)立得（a²+b²m²）y²+2mcb²y-b⁴=0，
所以y1y2=-

b4

a2+b2m2

，…（11分）
所以

FA1

•

FB1

=(

a2

c

-c，y1)(

a2

c

-c，y2)
=(

b2

c

)2+y1y2
=

b4

c2

-

b4

a2+b2m2

=

b6(1+m2)

c2(a2+b2m2)

＞0，…（14分）
又因為cos∠A1FB1=

FA1•FB1

|FA1|•|FB1|

＞0，…（15分）
所以∠A₁FB₁為銳角．  …（16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查角為銳角的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．