Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，對a進行討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，即（m+ln3）a-2ln3大于|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，化簡得m＜

2

3a

-4，求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）定義域為（0，+∞），f′(x)=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

(2x-1)(ax+1)

x2

①當a≥0時，當x∈(0，

1

2

)時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減，
當x∈（

1

2

，+∞）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增；
②當-2＜a＜0時，當x∈（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，
當x∈(

1

2

，-

1

a

)時，f′（x）＞0，∴f（x）在（

1

2

，-

1

a

）上單調(diào)遞增；
③當a=-2時，當x∈（0，+∞），f′（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
④當a＜-2時，當x∈（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
當x∈(-

1

a

，

1

2

)時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-

1

a

，

1

2

）上單調(diào)遞增；
（2）由（1）知當a∈（-3，-2）時，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，f（x）_max=f（1）=1+2a，f(x)min=f(3)=(2-a)ln3+

1

3

+6a
∵對?x₁，x₂∈[1，3]，有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，∵|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（x）_max-f（x）_min|=

2

3

-4a-2ln3+aln3，
∴（m+ln3）a-2ln3＞

2

3

-4a-2ln3+aln3，即m＜

2

3a

-4，∵a∈（-3，-2）時，當a=-2，

2

3a

-4取最小值-

13

3

，
∴m≤-

13

3

，即m的取值范圍為（-∞，-

13

3

]．

點評：本題考查的是函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，分類討論，等價轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題，是一道導數(shù)的綜合題．難度中等．