Question

已知a＞0，b＞0，方程x²+（a+bi）x+1+ai=0有實(shí)根，求a的最小值，并求a取最小值時(shí)b的值，并解此方程．

Answer 1

考點(diǎn)：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：方程x²+（a+bi）x+1+ai=0有實(shí)根，可化為：x²+ax+1+（bx+a）i=0，利用復(fù)數(shù)相等可得：x²+ax+1=0，
bx+a=0．消去x可得：a2=

b2

b-1

=b-1+

1

b-1

+2，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵方程x²+（a+bi）x+1+ai=0有實(shí)根，
∴可化為：x²+ax+1+（bx+a）i=0，
∴x²+ax+1=0，bx+a=0．
消去x可得：a²-a²b+b²=0（b＞1，否則矛盾），
∴a2=

b2

b-1

=b-1+

1

b-1

+2≥2

(b-1)• 1 b-1

+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)b=2時(shí)a取得最小值2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)相等、基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力，屬于中檔題．