Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（0，-2

2

），F(xiàn)₂（0，2

2

），離心率e=

2 2

3

．
（1）求橢圓的方程．
（2）一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先，根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置，設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后，結(jié)合離心率求解其中參數(shù)，從而確定其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程，然后，聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知量，轉(zhuǎn)化成一元二次方程的思想求解．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵

c= a2-b2 =2 2 e= c a = 2 2 3

，
∴a=3，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

9

+x2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，
聯(lián)立方程組

y=kx+b y2 9 +x2=1

，整理，得
（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0，
∴△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，
化簡(jiǎn)，得
k²-b²+9＞0，
x₁+x₂=-

2kb

9+k2

，x₁•x₂=

b2-9

9+k2

，
∵M(jìn)N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)-

1

2

，
∴

1

2

（x₁+x₂）=-

1

2

，
∴x₁+x₂=-1，可得
9+k²=2kb，
兩邊平方并整理得，（9+k²）²=4k²b²，
∴b²=

(9+k2)2

4k2

，
又k²-b²+9＞0，
∴k²-

(9+k2)2

4k2

+9＞0，
解得k²＞3或k²＜-9（舍去），
∴k＜-

3

或x＞

3

，
∴k的取值范圍為（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．