如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），設(shè)與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析試題分析：方法一：（Ⅰ）在中，，將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱，則其底面周長為，設(shè)地面半徑為，則，由柱體的體積公式，可知；（Ⅱ）利用換元法求解，令，則，對其求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知當時，體積取得最大值.
方法二：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，則，利用勾股定理可得，設(shè)圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即可得出r．
利用V=πr2•x（其中0＜x＜30）即可得出V與x的關(guān)系，進而得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（2）利用（1）可知（），再對V求導(dǎo)得V′，得出其單調(diào)性，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以當時，有最大值．
試題解析：【解法1】：（1）
（2）令，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即當時，體積取得最大值.
【解法2】：（1）連接，在中，設(shè)，則
設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，
，其中.
（2）由，得;
由解得；由解得．
因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
所以當時，有最大值．
考點：1.導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；2.解三角形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝aln x＝(a為常數(shù))．
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)當x≥1時，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ex－kx2，x∈R.
(1)若k＝，求證：當x∈(0，＋∞)時，f(x)>1；
(2)若f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，試求k的取值范圍；
(3)求證：<e4(n∈N*)．．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)，函數(shù)．
（1）當時，求在內(nèi)的極大值；
（2）設(shè)函數(shù)，當有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.（其中是的導(dǎo)函數(shù)．）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當且時，證明： .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)當時，求函數(shù)的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2）若函數(shù)有兩個極值點,且,求證:;
（Ⅲ）設(shè),對于任意時,總存在,使成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，是否存在區(qū)間，使得當時函數(shù)的值域為，若存在求出，若不存在說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，（），求k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案