Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²+|x-a|，（a是常數(shù)，且a≤

1

3

）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f（x）的最大值為

7

2

，最小值為t，求t的值，并寫出相應(yīng)的a值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）討論a以去絕對值號，再討論a以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）討論a，從而確定函數(shù)的最大值在何時(shí)取得，從而求出對應(yīng)的a值，進(jìn)而求t．

解答： 解：（1）當(dāng)x≥a時(shí)，
f（x）=x³+x²+x-a，
f′（x）=3x²+2x+1＞0；
故函數(shù)f（x）=x³+x²+|x-a|在（a，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＜a時(shí)，
f（x）=x³+x²-x+a，
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）；
①當(dāng)a≤-1時(shí)，
f（x）=x³+x²-x+a在（-∞，a]上是增函數(shù)；
②當(dāng)-1＜a≤

1

3

時(shí)，
f（x）=x³+x²-x+a在（-∞，-1]上是增函數(shù)，
在（-1，a]上是減函數(shù)；
故當(dāng)a≤-1時(shí)，
函數(shù)f（x）=x³+x²+|x-a|在R上是增函數(shù)，
當(dāng)-1＜a≤

1

3

時(shí)，
函數(shù)f（x）=x³+x²+|x-a|在（-∞，-1]，（a，+∞）上是增函數(shù)，
在（-1，a]上是減函數(shù)；
（2）若a≤-1，
則f（1）=1+1+|1-a|=

7

2

，
a=-

1

2

或a=

5

2

；（舍去）
若-1＜a≤

1

3

，
f（-1）=|1+a|＜

7

2

，
則f（1）=1+1+|1-a|=

7

2

；
故a=-

1

2

；
此時(shí)，f（-2）=-8+4+

3

2

=-

5

2

；
f（-

1

2

）=-

1

8

+

1

4

=

1

8

；
故t=-

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了絕對值函數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．