Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)k，使

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得an+1=

1

2

an，a₁=2．由此能求出a_n=2×（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知S_n=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

=4[1-（

1

2

）ⁿ]，

Sk+1-2

Sk-2

＞2等價(jià)于

4-21-k-2

4-22-k-2

＞2，由此能推導(dǎo)出不存在這樣的k，使不等式

Sk+1-2

Sk-2

＞2成立．

解答： 解：（1）由題意，a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，
兩式相減得an+1=

1

2

an，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=2a₁=4，
得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)a₁=2，公比為q=

1

2

的等比數(shù)列．
∴a_n=2×（

1

2

）^n-1．
（2）由（1）知S_n=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

=4[1-（

1

2

）ⁿ]，
∴

Sk+1-2

Sk-2

＞2等價(jià)于

4-21-k-2

4-22-k-2

＞2，
∴

3-21-k-2

3-21-k-2

＜0，
∴

2

3

＜21-k＜1，
∴1＜2^k-1＜

3

2

，
∵k是正整數(shù)，
∴2k-1正整數(shù)，這與1＜2k-1＜

3

2

相矛盾，
故不存在這樣的k，使不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)k的值是否成立的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．