Question

已知平面內一動點P到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于P、Q兩點，且

PF

•

QF

=0，又點E（-1，0），求

EP

•

EQ

的最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，可求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）直線與拋物線相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設P（x，y），由已知平面上動點P到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，
∴點P滿足拋物線定義，點P的軌跡為焦點在x軸正半軸的拋物線，p=2，
∴點P的軌跡方程為y²=4x．　
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．F（1，0）．
設直線PQ的方程為：my=x+n．
聯(lián)立

my=x+n y2=4x

，化為y²-4my+4n=0．
∴△=16m²-16n＞0，即m²＞n．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4n．
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2n=4m²-2n，
x₁x₂=（my₁-n）（my₂-n）=m²y₁y₂-mn（y₁+y₂）+n²=n²．
∵

PF

•

QF

=0，
∴（1-x₁，-y₁）•（1-x₂，-y₂）=0，
∴（1-x₁）（1-x₂）+y₁y₂=0，
化為1-（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=0，
∴1-4m²+2n+n²+4n=0，
∴4m²=n²+6n+1≥0，解得n≥2

2

-3或n≤-2

2

-3．
∴

EP

•

EQ

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=x₁x₂+x₁+x₂+1-x₁x₂+x₁+x₂-1=2（x₁+x₂）=8m²-4n
=2n²+8n+2
=2（n+2）²-6
≥2(2

2

-1)2-6=12-8

2

，當n=2

2

-3，m²=0時，取等號．
∴

EP

•

EQ

的最小值為12-8

2

．

點評：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系、二次函數(shù)的單調性，考查推理能力與計算能力，屬于難題．