Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的S_n，是否存在實(shí)數(shù)t，使得對(duì)任意的n均有：8S_n≤t（a_n+3）成立？若存在，求出t的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分
整理得2a₁d=d2．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2． …4 分
∴a_n=2n-1（n∈N*）． …6 分
（Ⅱ）b_n===（-），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）=． …10 分
（Ⅲ）假設(shè)存在整數(shù)t滿足8S_n≤t（a_n+3）總成立．
得t≥，而=≤=，即的最大值為，
∴t≥適合條件 …（12分）
分析：（Ⅰ）用首項(xiàng)和公差，表示出等差數(shù)列的三項(xiàng)，根據(jù)這三項(xiàng)是等比數(shù)列的三項(xiàng)，且三項(xiàng)成等比數(shù)列，用等比中項(xiàng)的關(guān)系寫出算式，解出結(jié)果．從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將（Ⅰ）的結(jié)果代入，再裂項(xiàng)，從而可求S_n；
（Ⅲ） 假設(shè)存在整數(shù)t滿足8S_n≤t（a_n+3）總成立．得t≥，求出右邊的最大值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查裂項(xiàng)求和，考查分離參數(shù)法求解恒成立問題．