已知如圖，平行四邊形中，，，，正方形所在平面與平面垂直，分別是的中點。

⑴求證：平面；
⑵求平面與平面所成的二面角的正弦值。

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）證明線面平行，一般可考慮線面平行的判定定理，構(gòu)造面外線平行于面內(nèi)線，其手段一般是構(gòu)造平行四邊形，或構(gòu)造三角形中位線(特別是有中點時)，由此本題即要證明的中點也是的中點，于是只要證明四邊形是平行四邊形，此較為容易；（2）求二面角一般分為三個步驟：作出二面角的平面角，證明此角是二面角的平面角，利用解三角形知識求出二面角的三角函數(shù)值，也可建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量的夾角，根進一步判斷二面角的大小.
試題解析：⑴證明;，,且,
四邊形是平行四邊形，為的中點，又是的中點
,平面平面,
平面                       4分
⑵（解法1）過點作于，易知為中點，連結(jié).
易知，平面，,
是平面與平面所成的二面角的平面角.      8分
,
,
即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
（解法2）以點為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則,    6分
,
設(shè)平面的法向量由，得，
令，又平面的法向量為,      9分
設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，

即平面與平面所成的二面角的正弦值為.          12分
考點：空間中線面的位置關(guān)系，二面角.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動．

（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；
（Ⅱ）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1-A1B1E的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1上動點，F(xiàn)是AB中點，AC = 1，BC = 2，AA1 = 4.

（Ⅰ）當E是棱CC1中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A—EB1—B的余弦值是，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2(1)PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，，交AC于點M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1,

（1）證明；
（2）（文科）求三棱錐的體積
（理科）求平面和平面所成的銳二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

四棱錐中,⊥底面,,,.

(Ⅰ)求證:⊥平面;
(Ⅱ)若側(cè)棱上的點滿足,求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）若，求與平面所成的角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直角梯形，是邊上的中點（如圖甲），，，，將沿折到的位置，使,點在上，且（如圖乙）

（Ⅰ）求證：平面ABCD.
（Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點。

（1）若，求證：平面；
（2）點在線段上，，試確定的值，使；

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