Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)在處取得極值.

⑴求的解析式；

⑵設是曲線上除原點外的任意一點,過的中點且垂直于軸的直線交曲線于點,試問：是否存在這樣的點,使得曲線在點處的切線與平行？若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由；

⑶設函數(shù),若對于任意,總存在,使得,求

實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

⑴.

⑵存在滿足條件的點,此時點的坐標為或.

⑶的取值范圍是.

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）⑴∵,∴.又在處取得極值.得到參數(shù)a,b的值。

（2）由⑴知.假設存在滿足條件的點,且,則,

又.則由,得,∴,

（3），分析導數(shù)的符號，與單調性的關系得到最值。

解：⑴∵,∴.又在處取得極值.

∴,即,解得,,經檢驗滿足題意,∴.…（4分）

⑵由⑴知.假設存在滿足條件的點,且,則,

又.則由,得,∴,

∵,∴,得.故存在滿足條件的點,此時點的坐標為或.                   ………… （8分）

⑶解法： ,令,得或.

當變化時,、的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

∴在處取得極小值,在處取得極大值.

又時,,∴的最小值為.     

∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,最小值不大于.又.

∴當 時,的最小值為,由,得；

當時,最小值為,由,得；

當時,的最小值為.由,即,解得或.又,∴此時不存在.                    

綜上,的取值范圍是.   …………   (14分)

   解法：同解法得的最小值為.   

∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即在上有解.設,則

得,

或,得或.

∴或時,在上有解,故的取值范圍是.

   解法：同解法得的最小值為.  

∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即在上有解.令,則,∴.

∴當時,；當時,得,不成立,∴不存在；

當時,.令,∵時,,∴在上為減函數(shù),∴,∴.

綜上,的取值范圍是.