Question

如圖，在函數(shù)y=x³-x的圖象上取4個(gè)點(diǎn)A_i（x_i，y_i），過點(diǎn)A_i作切線l_i（i=1，2，3，4），如果l₁∥l₃，且l₁，l₂，l₃，l₄圍成的圖形是矩形記為M．
（1）證明四邊形A₁A₂A₃A₄是平行四邊形；
（2）問矩形M的短邊與長(zhǎng)邊的比是否有最大值，若有，求l₁與l₂的斜率，若沒有，請(qǐng)證明．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線l_i的斜率為k_i（i=1，2，3，4），
由y′=3x²-1，得k_i=3x_i²-（12分）
由題意k₁=k₃，k₂=k₄，又點(diǎn)A₁A₂A₃A₄不重合，故x₁=-x₃，x₂=-x₄，
從而y₁=-y₃，y₂=-y₄，-（5分）
因此A₁與A₃，A₂與A₄都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故四邊形A₁A₂A₃A₄是平行四邊形；（7分）
（2）有最大值； （9分）
設(shè)k₁＞0，k₂＜0l_i：y-y_i=k_i（x-x_i），即y-k_ix+2x_i³=0，且k₁k₂=-1
設(shè)l₁與l₃的距離為，l₂與l₄的距離為（k＞1）（11分）
令（x＞1），
當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，
故當(dāng)，（14分）
因?yàn)?，
因此矩形M的短邊與長(zhǎng)邊的比有最大值，l₁與l₂的斜率分別為和，（16分）
分析：（1）先設(shè)直線l_i的斜率為k_i（i=1，2，3，4），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，由題意證出A₁與A₃，A₂與A₄都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得出故四邊形A₁A₂A₃A₄是平行四邊形；
（2）設(shè)l₁與l₃的距離為，l₂與l₄的距離為列出矩形M的短邊與長(zhǎng)邊的比，令（x＞1）利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性和最值，從而得出矩形M的短邊與長(zhǎng)邊的比有最大值及相應(yīng)的l₁與l₂的斜率．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查兩條平行直線間的距離、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．