Question

如圖，在函數y=x³-x的圖象上取4個點A_i（x_i，y_i），過點A_i作切線l_i（i=1，2，3，4），如果l₁∥l₃，且l₁，l₂，l₃，l₄圍成的圖形是矩形記為M．
（1）證明四邊形A₁A₂A₃A₄是平行四邊形；
（2）問矩形M的短邊與長邊的比是否有最大值，若有，求l₁與l₂的斜率，若沒有，請證明．

Answer 1

分析：（1）先設直線l_i的斜率為k_i（i=1，2，3，4），利用導數的幾何意義得出切線的斜率，由題意證出A₁與A₃，A₂與A₄都關于原點對稱，從而得出故四邊形A₁A₂A₃A₄是平行四邊形；
（2）設l₁與l₃的距離為d1=

4| x 3 1 |

1+ k 2 1

，l₂與l₄的距離為d2=

4| x 3 2 |

1+ k 2 2

列出矩形M的短邊與長邊的比，令g(x)=

(x-1)3

x(x+1)3

（x＞1）利用導數工具研究其單調性和最值，從而得出矩形M的短邊與長邊的比有最大值及相應的l₁與l₂的斜率．

解答：解：（1）設直線l_i的斜率為k_i（i=1，2，3，4），
由y′=3x²-1，得k_i=3x_i²-（12分）
由題意k₁=k₃，k₂=k₄，又點A₁A₂A₃A₄不重合，故x₁=-x₃，x₂=-x₄，
從而y₁=-y₃，y₂=-y₄，-（5分）
因此A₁與A₃，A₂與A₄都關于原點對稱，
故四邊形A₁A₂A₃A₄是平行四邊形；（7分）
（2）有最大值；      （9分）
設k₁＞0，k₂＜0l_i：y-y_i=k_i（x-x_i），即y-k_ix+2x_i³=0，且k₁k₂=-1
設l₁與l₃的距離為d1=

4| x 3 1 |

1+ k 2 1

，l₂與l₄的距離為d2=

4| x 3 2 |

1+ k 2 2

d 2 2

d 1 1

=

x 6 2

x 6 1

•

1+ k 2 1

1+ k 2 2

=(

k2+1

k1+1

)3

1+ k 2 1

1+ k 2 2

=

1

k1

(

k1-1

k1+1

)3（k＞1）（11分）
令g(x)=

(x-1)3

x(x+1)3

（x＞1）g′(x)=-

(x-1)2(x2-6x-1)

x2(x+1)4

=

[x-(3+ 10 )][x-(3- 10 )](x-1)2

x2(x+1)4

，
當1＜x＜3+

10

時為增函數，
當x＞3+

10

時為減函數，
故當x=3+

10

，gmax(x)=

(2+ 10 )3

(3+ 10 )(4+ 10 )3

（14分）
因為 

(2+ 10 )3

(3+ 10 )(4+ 10 )3

＜1，
因此矩形M的短邊與長邊的比有最大值，l₁與l₂的斜率分別為3+

10

和3-

10

，（16分）

點評：本小題主要考查兩條平行直線間的距離、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．