已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由兩圓外一點(diǎn)P(a，b)引兩圓切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，如圖，滿(mǎn)足|PA|＝|PB|.

(1)求實(shí)數(shù)a、b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系；

(2)求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值；

(3)是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

1)連接PO、PC，∵|PA|＝|PB|，|OA|＝|CB|＝1，

∴|PO|2＝|PC|2，從而a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2，

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系為：a＋2b－5＝0.

(2)由a＋2b－5＝0，得a＝－2b＋5，

|PA|＝＝

＝

＝

＝.

∴當(dāng)b＝2時(shí)，|PA|min＝2.

(3)不存在.∵圓O和圓C的半徑均為1，若存在半徑為R的圓P，與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切，則有|PO|＝R－1且|PC|＝R＋1.

于是有：|PC|－|PO|＝2，即|PC|＝|PO|＋2，

從而得＝＋2，

兩邊平方，整理得＝4－(a＋2b)，

將a＋2b＝5代入上式得：＝－1<0，

故滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a、b不存在，∴不存在符合題設(shè)條件的圓P.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：遼寧省沈陽(yáng)二中2011－2012學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知圓O：x2＋y2＝1，點(diǎn)P在直線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓O上存在點(diǎn)Q，使∠OPQ＝30°，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0的取值范圍是

[　　]
A．

[－2，2]

B．

[0，2]

C．

[－1，1]

D．

[0，1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

       已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：（x－4）2＋（y－4）2＝1，由兩圓外一點(diǎn)P（a,b）引兩圓切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，如圖，滿(mǎn)足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線(xiàn)方程l：x＋y－4=0，該直線(xiàn)叫做這兩圓的“根軸”，試證點(diǎn)P落在根軸上；

       （Ⅱ）求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值；

（Ⅲ）給出定點(diǎn)M（0,2），設(shè)P、Q分別為直線(xiàn)l和圓O上動(dòng)點(diǎn)，求|MP|＋|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2＋y2＝1和定點(diǎn)A(2,1)，由圓O外一點(diǎn)P(a，b)向圓O引切線(xiàn)PQ，切點(diǎn)為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點(diǎn)，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

 已知圓O：x2＋y2＝1和定點(diǎn)A(2,1)，由圓O外一點(diǎn)P(a，b)向圓O引切線(xiàn)PQ，切點(diǎn)為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點(diǎn)，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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