已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：（x－4）2＋（y－4）2＝1，由兩圓外一點P（a,b）引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，如圖，滿足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線方程l：x＋y－4=0，該直線叫做這兩圓的“根軸”，試證點P落在根軸上；

       （Ⅱ）求切線長|PA|的最小值；

（Ⅲ）給出定點M（0,2），設P、Q分別為直線l和圓O上動點，求|MP|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

⑴

       即點P（a,b）落在根軸l：x＋y－4=0上；    ……………………  3分

    ⑵

    ∴當a=2時即P為（2,2）點時有    …………………  6分

⑶ 作M（0,2）關(guān)于直線L: x＋y=4的對稱點N,求得N（2,4），連接NO則NO分別與直線L、圓O的交點即為使|PM|＋|PQ|的值最小的點P、Q； …………………  8分

       證明如下：

       在L上任取不同于點P的P1點，

       連接P1O交圓O于Q1，則

       |P1M|＋|P1Q1|=|P1M|＋|P1O|-1=|P1N|＋|P1O|-1＞|NO|-1

       而|PM|＋|PQ|=|PM|＋|PO|-1=|PN|＋|PO|-1=|NO|-1 ,

       故得證；  …………… 11分

       下求|PM|＋|PQ|的最小值及點P的坐標：

       （|PM|＋|PQ|）Min=|NO|-1=

       聯(lián)立ON與直線L的方程可得 …… 13分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：遼寧省沈陽二中2011－2012學年高二上學期期中考試數(shù)學文科試題 題型：013

已知圓O：x2＋y2＝1，點P在直線上，O為坐標原點，若圓O上存在點Q，使∠OPQ＝30°，則點P的縱坐標y0的取值范圍是

[　　]
A．

[－2，2]

B．

[0，2]

C．

[－1，1]

D．

[0，1]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O：x2＋y2＝1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 已知圓O：x2＋y2＝1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，|PQ|＝|PA|成立，如圖．

(1)求a、b間關(guān)系；

(2)求|PQ|的最小值；

(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓O：x2＋y2＝1，圓C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由兩圓外一點P(a，b)引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，如圖，滿足|PA|＝|PB|.

(1)求實數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；

(2)求切線長|PA|的最小值；

(3)是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程；若不存在，說明理由.

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