Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

11

10

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿足2bcosA≤2c-

3

a，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,正弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）運(yùn)用角的變換：x=x-

π

6

+

π

6

，由條件求出cos（x-

π

6

），再由兩角和的余弦公式，即可得到cosx；
（2）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡，即可得到2cosB≥

3

，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到B的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到f（B）的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

，
由f（x）=

11

10

，即sin（x-

π

6

）=

3

5

，
由于x∈[0，

π

2

]，則x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
即有cos（x-

π

6

）=

4

5

，
則cosx=cos（x-

π

6

+

π

6

）=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

；
（2）由于2bcosA≤2c-

3

a，
則由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC-

3

sinA
=2sin（A+B）-

3

sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-

3

sinA，
則有2cosB≥

3

，B為三角形的內(nèi)角，則0＜B≤

π

3

，
由于f（B）=sin（B-

π

6

）+

1

2

，而-

π

6

＜B-

π

6

≤

π

6

，
sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

]，
則有f（B）的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查角的變換，考查正弦定理以及正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，主要是單調(diào)性，屬于中檔題和易錯(cuò)題．