【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：若，則對于任意，不等式恒成立．

【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）求定義域，求導(dǎo)，再分類討論得導(dǎo)數(shù)符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）原不等式即，變形為，只需證恒成立；設(shè)函數(shù)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)易得，，由，得，從而得出證明．

（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

①當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；

②當(dāng)時，由得，，解得，由得，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

③當(dāng)時，，則，則在內(nèi)單調(diào)遞減；

④當(dāng)時，由得，，解得，或，由得，，則在，內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減；在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在，內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

（2）證明：原不等式即，變形為，

∴只需證恒成立，

設(shè)函數(shù)，，

因?yàn)?/span>，易得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，即在內(nèi)恒成立，

∴若，則對于任意，不等式．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，是等邊三角形，側(cè)面底面，，，，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；

（2）設(shè)點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，若直線與底面所成的角的正弦值為，求線段的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖已知，，、分別為、的中點(diǎn)，將沿折起，得到四棱錐，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時，的正視圖為直角三角形，求此時二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時，的面積為，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn)．

（1）求的取值范圍；

（2）設(shè)兩極值點(diǎn)分別為，，且，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）討論在上的零點(diǎn)個數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x），

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：a＝1時，f（x）+g（x）﹣（1）lnx＞e．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，平面平面，，，分別是棱，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，求與平面所成角的正弦值.

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