Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，，是等邊三角形，側面底面，，，，點是棱上靠近點的一個三等分點．

（1）求證：∥平面；

（2）設點是線段（含端點）上的動點，若直線與底面所成的角的正弦值為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）取棱上靠近點的一個三等分點，連接，，易證四邊形是平行四邊形，所以∥，再利用線面平行的判定定理即可證明；

（2）作，垂足為點，由面面垂直的性質定理可得底面，以點為原點，為軸，過點且平行于的射線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，由得到的坐標，設，則的坐標為，進一步得到，又為平面的一個法向量，再利用線面角的計算公式即可得到，即的長.

（1）取棱上靠近點的一個三等分點，連接，．

因為，所以∥且．

因為∥，所以∥．

又因為，，所以．

所以四邊形是平行四邊形．

所以∥．

又因為平面，平面，

所以∥平面．

（2）作，垂足為點，如圖所示．

因為是等邊三角形，所以點是線段的中點．

因為側面底面，側面底面，，側面，

所以底面．

所以以點為原點，為軸，過點且平行于的射線為軸，為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為，，，是等邊三角形，

所以，．

所以點，．

因為點是棱上靠近點的一個三等分點，所以，

所以，所以，

故點的坐標是．

設，則的坐標是．所以．

而易知平面一個法向量為；

設與底面所成的角為．

因為直線與底面所成的角的正弦值為，所以．

因為，

所以

，

解得．

所以線段的長為．