Question

在三棱錐P-ABC內(nèi)，已知PA=PC=AC=

2

，AB=BC=1，面PAC⊥面ABC，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求直線PE與AC所成角的余弦值；
（2）求直線PB與平面ABC所成的角的正弦值；
（3）求點(diǎn)C到平面PAB的距離．

Answer 1

分析：（1）分別取AB，AC的中點(diǎn)F，H，連接PH，HF，HE，EF，根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥AC，即∠PEF是異面直線PE與AC所成的角或補(bǔ)角，解△PEF即可得到答案．
（2）由PA=PC，H是AC的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，我們易得PH⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)，得到PH⊥面ABC，故∠PBH是直線PB與平面ABC所成的角，解△PBH即可得到直線PB與平面ABC所成的角的正弦值；
（3）利用等體集法，根據(jù)V_P-ABC=V_C-PAB，分別求出棱錐P-ABC的體積及底面三角形PAB的面積，進(jìn)而得到點(diǎn)C到平面PAB的距離．

解答：解：（1）分別取AB，AC的中點(diǎn)F，H，連接PH，HF，HE，EF
由于E、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，故EF是△ABC的中位線，則有EF∥AC，
故∠PEF是異面直線PE與AC所成的角或補(bǔ)角
在△PEF中，PE=PF=

7

2

，EF=

2

2

故cos∠PEF=

14

14

（2）由于PA=PC，H是AC的中點(diǎn)，
有PH⊥AC
又由面PAC⊥面ABC
面PAC∩面ABC=AC
有PH⊥面ABC
故∠PBH是直線PB與平面ABC所成的角
在△PBH中，PH=

2

2

，PH=

6

2

∴tan∠PBH=

PH

BH

=

3

故sin∠PBH=

3

2

（3）∵V_P-ABC=V_C-PAB=

1

3

S_△ABC•PH=

1

3

•

1

2

×1×1×

6

2

=

6

12

又由三角形PAB的面積S_△PAB=

7

4

∴點(diǎn)C到平面PAB的距離h=

3•VC-PAB

S△PAB

=

42

7

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是點(diǎn)、面間的距離計算，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是確定∠PEF是異面直線PE與AC所成的角或補(bǔ)角，（2）的關(guān)鍵是證得∠PBH是直線PB與平面ABC所成的角，（3）是的等體積法是求點(diǎn)到平面距離的常用方法．