【題目】設(shè)雙曲線的兩支為(如圖),正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。
(1)求證:P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上;
(2)設(shè)P(-1,-1)在上,Q、R在上。求頂點Q、R的坐標(biāo)。
【答案】(1)見解析;(2),
【解析】
(1)用反證法.
假設(shè)正△PQR的三頂點P、Q、R位于同一支如上,其坐示分別的,不妨設(shè)0.則一定有.于是,
.
因此.
這說明△PQR是鈍角三角形,與△PQR為正三角形矛盾.故P、Q、R不能位于同一支上.
(2)設(shè)Q、R的坐標(biāo)為,這時QR邊上的高線方程為.
它必過線段QR的中點,因此QR的中點坐標(biāo)滿足方程(1),
于是有.此即 ..
,上式方括號中的式子明顯大于0,則.故.
于是,Q的坐標(biāo)為.而R的坐標(biāo)為,這說明Q、R關(guān)于直線y=x對稱.
PQ、PR所在的直線分別為過P點與y=x交成30°角的相互對稱的兩條直線,易見其傾斜角分別為75°和15°.不妨設(shè)PQ的傾斜角為75°,這時它的方程為
即 .將其代入雙曲線方程,解得Q的坐標(biāo)為,由對稱性知R的坐標(biāo)為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓,把圓上每一點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到曲線,且傾斜角為,經(jīng)過點的直線與曲線交于兩點.
(1)當(dāng)時,求曲線的普通方程與直線的參數(shù)方程;
(2)求點到兩點的距離之積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
點P是曲線C1:(x-2)2+y2=4上的動點,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸
建立極坐標(biāo)系,將點P繞極點O逆時針90得到點Q,設(shè)點Q的軌跡為曲線C2.
求曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程;
射線= (>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點,定點M(2,0),求MAB的面積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點P,過它的左、右焦點分別作直線l1和12.l1交橢圓于A.兩點,l2交橢圓于C,D兩點, 且
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)拋物線的焦點是雙曲線的右焦點,拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為,若拋物線上存在一點,且,則直線的方程為__________.
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【題目】游樂場的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn),其中心O距地面40.5m,半徑40m.若從最低點處登上座天輪,那么人與地面的距離將隨時間變化,5min后達(dá)到最高點,在你登上摩天輪時開始計時,
(1)求出人與地面距離y與時間t的函數(shù)解析式;
(2)從登上摩天輪到旋轉(zhuǎn)一周過程中,有多長時間人與地面距離大于20.5m.
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【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年產(chǎn)量y(萬噸) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.(參考數(shù)據(jù):,計算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)
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