【題目】設(shè)雙曲線的兩支為(如圖)，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。

（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；

（2）設(shè)P(-1，-1)在上，Q、R在上。求頂點Q、R的坐標(biāo)。

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

(1)用反證法.

假設(shè)正△PQR的三頂點P、Q、R位于同一支如上，其坐示分別的，不妨設(shè)0.則一定有.于是，

.

因此.

這說明△PQR是鈍角三角形，與△PQR為正三角形矛盾.故P、Q、R不能位于同一支上.

(2)設(shè)Q、R的坐標(biāo)為，這時QR邊上的高線方程為.

它必過線段QR的中點，因此QR的中點坐標(biāo)滿足方程(1)，

于是有.此即 ..

，上式方括號中的式子明顯大于0，則.故.

于是，Q的坐標(biāo)為.而R的坐標(biāo)為，這說明Q、R關(guān)于直線y=x對稱.

PQ、PR所在的直線分別為過P點與y=x交成30°角的相互對稱的兩條直線，易見其傾斜角分別為75°和15°.不妨設(shè)PQ的傾斜角為75°，這時它的方程為

即 .將其代入雙曲線方程，解得Q的坐標(biāo)為，由對稱性知R的坐標(biāo)為.

練習(xí)冊系列答案
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A.B.C.D.

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年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份代碼t

1

2

3

4

5

6

年產(chǎn)量y(萬噸)

6.6

6.7

7

7.1

7.2

7.4

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；

（Ⅱ）根據(jù)線性回歸方程預(yù)測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.

附:對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.(參考數(shù)據(jù):，計算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）

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