【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；

（2）設(shè)方程（）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.

【答案】（1）， （2）證明見解析

【解析】

（1）由求得函數(shù)零點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，只有在時(shí)，，因此，考查（1）中切線，先證明（），只要構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得證，方程的解為，（不妨設(shè)，則），要證不等式變形為證明，即證，由，，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證．

（1）由，得，∴函數(shù)的零點(diǎn)是.

，，.

曲線在處的切線方程為.

，，

∴曲線在處的切線方程為

（2）.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

由（1）知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

下面證明：當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，

.

易知，在上單調(diào)遞增，

而，

∴對恒成立，

∴當(dāng)時(shí)，.

由得.記.

不妨設(shè)，則，

∴.

要證，只要證，即證.

又∵，∴只要證，即.

∵，即證.

令.

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù).

∴，∴，

∴

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，是中點(diǎn).

（1）求證:平面平面；

（2）若四棱錐的體積為1，求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）若點(diǎn)與點(diǎn)分別為曲線動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的方程為.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

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【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；

（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQ＝λBB1(λ≠0)．

（1）若λ＝，求AP與AQ所成角的余弦值；

（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實(shí)數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(Ⅰ) 求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ) 討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅲ) 設(shè),當(dāng)時(shí),若對任意的，存在，使得≥，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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