已知橢圓E的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且橢圓過點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),C(1,
32
)三點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A,B的任意一點(diǎn),F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí),求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo);
(3)若直線l:y=k(x+4),(k≠0)與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P,試問直線PN能否過定點(diǎn)F(-1,0),若是,請證明;若不是,請說明理由.
分析:(1)由題意可設(shè)橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),由a=2及把點(diǎn)C(1,
3
2
)代入橢圓方程即可得出;
(2)設(shè)△DFH內(nèi)切圓的半徑為r,則S△DFH=
r
2
(|DF|+|DH|+|FH|)
=
1
2
|FH|•|yD|
.利用橢圓的定義可得|DF|+|DH|=2a=4,可得r=
1
3
|yD|
,當(dāng)且僅當(dāng)D為橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí),r取得最大值.
(3)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)M(x1,y1N(x2
y
 
2
)
,只要證明kMF+kNF=0即可.
解答:解:(1)由題意可設(shè)橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),可得
a=2
1
a2
+
9
4b2
=1
,解得
a=2
b2=3

∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)設(shè)△DFH內(nèi)切圓的半徑為r,則S△DFH=
r
2
(|DF|+|DH|+|FH|)
=
1
2
|FH|•|yD|

∵|DF|+|DH|=2a=4,|FH|=2,
∴r=
1
3
|yD|
,當(dāng)且僅當(dāng)yD
3
即D為橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí),r=
3
3
取得最大值.
此時(shí)內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0,±
3
3
)

(3)聯(lián)立
y=k(x+4)
x2
4
+
y2
3
=1
消去y得:(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0.
x1+x2=-
32k2
3+4k2
x1x2=
64k2-12
3+4k2

設(shè)M(x1,y1N(x2,
y
 
2
)
,kMF+kNF=
y1
x1+1
+
y2
x2+1
=k•
(x2+4)(x1+1)+(x1+4)(x2+1)
(x1+1)(x2+1)

=k
2x1x2+5(x1+x2)+8
(x1+1)(x2+1)
=0
直線PN能否過定點(diǎn)F(-1,0)
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、三角形的內(nèi)切圓與三角形的面積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線x2=-4
2
y
的焦點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)A(1,
2
)
在該橢圓上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為
2
直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B、C,當(dāng)△ABC面積的最大值時(shí),求直線l的方程.

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已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
12
,且橢圓E上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4;l1,l2是過點(diǎn)P(0,2)且互相垂直的兩條直線,l1交E于A,B兩點(diǎn),l2交E交C,D兩點(diǎn),AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N. 
(1)求橢圓E的方程;  
(2)求l1的斜率k的取值范圍;
(3)求證直線OM與直線ON的斜率乘積為定值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河北省衡水中學(xué)2011-2012學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型:044

已知橢圓E的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且橢圓過點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),C(1,)三點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程;

(2)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A,B的任意一點(diǎn),F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí),求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo);

(3)若直線l:y=k(x+4),(k≠0)與橢圓E交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P,試問直線PN能否過定點(diǎn)F(-1,0),若是,請證明;若不是,請說明理由

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已知橢圓E的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且橢圓過點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),C(1,)三點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程;

(2)若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A,B的任意一點(diǎn),F(xiàn)(-1,0),H(1,0),求△DFH內(nèi)切圓的面積的最大值,并指出其內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo).

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