利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f(x)=x+
4x
在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)．
分析：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，通過作差比較f（x1）與f（x2）的大小，根據(jù)增函數(shù)的定義，只需說明f（x1）＜f（x2）即可．
解答：證明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=（x1+
4
x1
）-（x2+
4
x2
）=（x1-x2）+
4(x2-x1)
x1x2
=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
，
因?yàn)?≤x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2＞4，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）=x+
4
x
在[2，+∞）上為增函數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，屬基礎(chǔ)題，單調(diào)性的證明方法主要有：定義法；導(dǎo)數(shù)法，要熟練掌握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)h(x)=x+
3
x
在[
3
，∞)上是增函數(shù)；
（2）我們可將問題（1）的情況推廣到以下一般性的正確結(jié)論：已知函數(shù)y=x+
t
x
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在(0，
t
]上是減函數(shù)，在[
t
，+∞)上是增函數(shù)．
若已知函數(shù)f(x)=
4x2-12x-3
2x+1
，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；又已知函數(shù)g（x）=-x-2a，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得對于任意的x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，若不存在，請說明理由；如存在，請求出這樣的實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a
bx-1
，其圖象過點(diǎn)（2，2）和（5，
1
2
）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性；
（3）求f（x）函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x+
mx
過點(diǎn)P（1，5），
（1）求m值及函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x-12x+1
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）是其定義域上的增函數(shù)．

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