Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=1，a_n+1=a_n+3，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）已知{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=a₂，b₄=a₆+S₈．求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得到數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，公差d=3的等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a₂和S₈，代入b₁=a₂，b₄=a₆+S₈求得等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公比為q，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+3，n∈N^*，
∴a_n+1-a_n=3，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，公差d=3的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×3=3n-2，
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+3n-2)

2

=

3

2

n2-

1

2

n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n=3n-2，
∵a2=4，S8=

8(a1+an)

2

=

8(1+22)

2

=92，
∴b₄=a₆+S₈=16+92=108．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則q3=

b4

b1

=

108

4

=27，
∴q=3，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Bn=

4(1-3n)

1-3

=2×3n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．