Question

已知函數(shù)f（x）=

-|x3-2x2+x| (x＜1) lnx (x≥1)

，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由x＜1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)f（x）的圖象，把命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題轉(zhuǎn)化為“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），求出切點(diǎn)和斜率，設(shè)直線與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切于點(diǎn)（0，0），得切線斜率k=1，由圖象觀察得出k的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-|x³-2x²+x|=-|x（x-1）²|=

x(x-1)2，x＜0 -x(x-1)2，0≤x＜1

，
當(dāng)x＜0，f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)0≤x＜1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），∴f（x）在區(qū)間（0，

1

3

）上是減函數(shù)，
在（

1

3

，1）上是增函數(shù)；
畫出函數(shù)y=f（x）在R上的圖象，如圖所示；

命題“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命題，
即為任意t∈R，且t≠0時(shí)，使得f（t）＜kt恒成立；
作出直線y=kx，設(shè)直線與y=lnx（x≥1）圖象相切于點(diǎn)（m，lnm），
則由（lnx）′=

1

x

，得k=

1

m

，
即lnm=km，解得m=e，k=；
設(shè)直線與y=x（x-1）²（x≤0）的圖象相切于點(diǎn)（0，0），
∴y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），則有k=1，
由圖象可得，當(dāng)直線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)到與y=lnx（x≥1）圖象相切，
以及與y=x（x-1）²（x≤0）圖象相切時(shí)，直線恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，
∴k的取值范圍是（

1

e

，1]．
故答案為：（

1

e

，1]．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了存在性命題與全稱性命題的互相轉(zhuǎn)化問題以及不等式恒成立的問題，是較難的題目．