Question

證明：函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

在R上為增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：法1：利用分式函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
法2：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．

解答： 解：法1：f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x+1是R上的增函數(shù)，
∴y=

2

2x+1

是R上的減函數(shù)，
y=-

2

2x+1

是R上的增函數(shù)，
則f（x）=1-

2

2x+1

是R上的增函數(shù)．
法2：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

在R上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．本題也可以使用單調(diào)性的定義進行證明．