Question

已知函數f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）圖象的一部分如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[-8，8]時，求函數y=f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,余弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式．
（Ⅱ）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再根據余弦函數的單調性求得此函數的單調性．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象知A=2，T=8，∵T=

2π

ω

=8，∴ω=

π

4

，
又圖象經過點（-1，0），∴2sin（-

π

4

+φ）=0，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

，∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（Ⅱ）∵y=f（x）+f（x+2）=2sin（（

π

4

x+

π

4

）+2sin（

π

4

x+

π

2

+

π

4

）
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）=2

2

sin（

π

4

x+

π

2

）=2

2

cos

π

4

x，
令 2kπ-π≤

π

4

x≤2kπ，k∈z，求得 8k-4≤x≤8k，故函數的增區(qū)間為[8k-4，8k]．
令 2kπ≤

π

4

x≤2kπ+π，k∈z，求得 8k≤x≤8k+4，故函數的減區(qū)間為[8k，8k+4]．
再結合 x∈[-8，8]，可得函數的增區(qū)間為[-4，0]、[4，8]，減區(qū)間為[-8，-4]、[0，4]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角恒等變換，余弦函數的單調區(qū)間，屬于基礎題．