Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，是上的點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是的中點，且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）證明：因為平面，，∴，.......................1分

，∴

∴，∴...........................................2分

又，.

∴平面，.................................................................4分

又∵，∴平面平面. ...........................5分

（Ⅱ）以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示， 則，,

設（），則，

，，，.......6分

取

則，∴為面的法向量

設為面的法向量，則，

即，取，，，則，.............. 8分

依題意，，則 ...............9分

于是，.........................................10分

設直線與平面所成角為，則，

則直線與平面所成角的正弦值為. ............................12分

【命題意圖】本題主要考查空間線面平行與面面垂直的證明、空間向量在立體幾何中的應用，考查空間想象能力與邏輯思維能力等，是中檔題.