已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的半焦距c=
3
，直線x=±a與y=±b圍成的矩形ABCD的面積為8，求橢圓的方程；
（2）若O（
OA
•
OB
=0為坐標原點），求證：
1
a2
+
1
b2
=2；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率e滿足
3
3
≤e≤
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．
（1）∵橢圓的半焦距c=
3
，
直線x=±a與y=±b圍成的矩形ABCD的面積為8，
∴2a•2b=8，
∴
ab=2
a2-b2=3
，
解得a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+y2=1．
（2）證明：∵橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，
∴設A（x1，y1），B（x2，y2），∵
OA
⊥
OB
，∴x1x2+y1y2=0，
∵y1=1-x1，y2=1-x2，
∴2x1x2-（x1+x2）=0，①
又將y=1-x代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，
∵△＞0，∴x1+x2=
2a2
a2+b2
，x1x2=
a2(1-b2)
a2+b2
，
代入①化簡得
1
a2
+
1
b2
=2．
（3）∵e2=
c2
a2
=1-
b2
a2
，
∴
1
3
≤1-
b2
a2
≤
1
2
，
∴
1
2
≤
b2
a2
≤
2
3
，
由（1）知b2=
a2
2a2-1
，
∴
1
2
≤
1
2a2-1
≤
2
3
，
∴
5
2
≤a≤
6
2
，
∴長軸2a∈[
5
，
6
]．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P（x0，y0）是橢圓C：
x2
5
+y2=1上的一點．F1、F2是橢圓C的左右焦點．
（1）若∠F1PF2是鈍角，求點P橫坐標x0的取值范圍；
（2）求代數(shù)式
y20
+2x0的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直線l：y=2x-4交拋物線y2=4x于A、B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△ABP的面積最大，并求這個最大面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1（mn≠0）的離心率為2，有一個焦點恰好是拋物線y2=4x的焦點，則此雙曲線的漸近線方程是（　　）
A．
3
x±y=0		B．x±
3
y=0		C．3x±y=0D．x±3y=0

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知線段AB的端點B的坐標是（1，2），端點A在圓（x+1）2+y2=4上運動，點M是AB的中點．
（1）若點M的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（2）設直線l：x+y+3=0，求曲線C上的點到直線l距離的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m-k為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點（0，4），離心率為
3
5

（1）求C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為
4
5
的直線被C所截線段的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
4
+y2=1的左、右頂點分別為A、B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結(jié)DC，PB．
（Ⅰ）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（Ⅱ）設直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=2k2，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點A、B，且
AC
=2
CB
，當△AOB的面積最大時，求直線l和橢圓的方程．

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