橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m-k為定值．
（1）因為e=
c
a
=
3
2
，所以
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
3
4
，即a2=4b2，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1；
（2）證明：因為B（2，0），P不為橢圓頂點，則可設直線BP的方程為y=k(x-2)(k≠0，k≠±
1
2
)．
聯(lián)立
y=k(x-2)
x2
4
+y2=1
，得（4k2+1）x2-16k2x+16k2-4=0．
所以xP+2=
16k2
4k2+1
，xP=
8k2-2
4k2+1
．
則yP=k(
8k2-2
4k2+1
-2)=
-4k
4k2+1
．
所以P（
8k2-2
4k2+1
，
-4k
4k2+1
）．
又直線AD的方程為y=
1
2
x+1．
聯(lián)立
y=k(x-2)
y=
1
2
x+1
，解得M（
4k+2
2k-1
，
4k
2k-1
）．
由三點D（0，1），P（
8k2-2
4k2+1
，
-4k
4k2+1
），N（x，0）共線，
得
-4k
4k2+1
-1
8k2-2
4k2+1
-0
=
0-1
x-0
，所以N（
4k-2
2k+1
，0）．
所以MN的斜率為m=
4k
2k-1
-0
4k+2
2k-1
-
4k-2
2k+1
=
4k(2k+1)
2(2k+1)2-2(2k-1)2
=
2k+1
4
．
則2m-k=
2k+1
2
-k=
1
2
．
所以2m-k為定值
1
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF2周長為4
5
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，若△APB的面積為
40
9
，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點P（1，1）作直線與雙曲線x2-
y2
2
=1交于A、B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線（　�。�
A．存在一條，且方程為2x-y-1=0
B．存在無數(shù)條
C．存在兩條，方程為2x±（y+1）=0
D．不存在

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的半焦距c=
3
，直線x=±a與y=±b圍成的矩形ABCD的面積為8，求橢圓的方程；
（2）若O（
OA
•
OB
=0為坐標原點），求證：
1
a2
+
1
b2
=2；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率e滿足
3
3
≤e≤
2
2
，求橢圓長軸長的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標為1的點M到拋物線C焦點F的距離|MF|=2．
（1）試求拋物線C的標準方程；
（2）若直線l與拋物線C相交所得的弦的中點為（2，1），試求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以雙曲線C2的另一焦點F1為圓心的圓M與直線y=
3
x相切，圓N：（x-2）2+y2=1．過點P（1，
3
）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2，設l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，問：
s
t
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：x2-
y2
2
=1，過點P（-1，-2）的直線交C于A，B兩點，且點P為線段AB的中點．
（1）求直線AB的方程；
（2）求弦長|AB|的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(1，
q
2
)，且離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案