Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(1，

q

2

)，且離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(

1

8

，0)，求k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由題意橢圓的離心率∴e=

c

a

=

1

2

∴a=2c∴b²=a²-c²=3c²
∴橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1又點(1，

3

2

)在橢圓上∴

1

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1∴c²=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0…（6分）
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3…（8分）
又x1+x2=-

8km

3+4k2

∴MN中點P的坐標為(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)…（9分）
設(shè)MN的垂直平分線l'方程：y=-

1

k

(x-

1

8

)
∵p在l'上∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

8

)即4k²+8km+3=0
∴m=-

1

8k

(4k2+3)…（11分）
將上式代入得

(4k2+3)2

64k2

＜4k2+3
∴k2＞

1

20

即k＞

5

10

或k＜-

5

10

，∴k的取值范圍為(-∞，-

5

10

)∪(

5

10

，+∞)